Né à Édimbourg, en Écosse, il a étudié le graphisme au Duncan of Jordanstone College of Art and Design de Dundee, ainsi que le cinéma et la télévision au Royal College of Art de Londres. En 1970, il déménage aux États-Unis avec sa femme Elizabeth. Son style particulier a fini par attirer l’attention des magazines de mode américains et européens. En 1975, Albert remporte un Grammy Award, et en 1976, il obtient sa première commande pour Vogue. Il a publié de nombreux ouvrages et organisé plusieurs expositions personnelles dans de nombreux musées et galeries. Watson a également fait des centaines de campagnes publicitaires réussies, et réalisé également de nombreuses publicités télévisées.
Le magazine de l’industrie, Photo District News, l’a élu l’un des 20 photographes les plus influents de tous les temps. Il a remporté plusieurs prix, dont le prix Lucie, trois prix ANDY, la Royal Photographic Society’s Centenary Medal et un Grammy Award (pour la couverture d’un album de Mason Profitt).